Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 09.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Решение с помощью дифференциальных уравнений

При использовании декартовых координат недеформированная плоская поверхность прямоугольной мембраны с длинами сторон а и b описывается следующим образом:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

где при а≤b в средней области (у=b/2) параметрические линии х = const и у = const представляют собой линии главных удлинений. Кроме того, имеет место плоское деформированное состояние (εу = ε2 = 0) и все величины деформаций и усилий зависят только от х. Форма мембраны после возникновения перемещений
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

отсюда уравнения равновесия в компонентах запишутся следующим образом:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

С помощью (11.34 b) удовлетворяются граничные условия и = 0 и ω = 0 при х = 0 и х = а (рис. 11.4). Согласно этому из уравнений равновесия (11.33 а) и (11.33 с) следует
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

и определение радиуса круга R для различных зависимостей между удлинением и нагрузкой осуществляется весьма просто. Так как удлинения вследствие постоянства мембранных усилий nr не зависят от х, с помощью sinφ0 = a/(2R) имеем
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

C помощью (11.35) легко смогут быть вычислены угол отверстия φ0 и радиус круга поперечного сечения деформированной мембраны R, а также величина C1/p и наибольшая стрела подъема f для любых зависимостей между нагрузкой и удлинением.
а) Для материала, подчиняющегося закону Гука, в случае прямой пропорциональности между нагрузкой и удлинением имеем
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

Эти же соотношения действительны в случае материала, следующего зависимости (11.14), вследствие того что εy = ε2 = 0.
б) Для материала, подчиняющегося закону Каппуса, из
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

в) Для материала, следующего логарифмической зависимости между нагрузкой и удлинением (11.16), из
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

На рис. 11.5 величины R/a, f/a и nx(1- v2)/D представлены в зависимости от ϗ = pa(1-v2)/D. График подтверждает установленный в предыдущих примерах факт, что зависимости между усилиями и внутренним давлением внутри важной с практической точки зрения области 0≤n≤0,25 D для различных видов физических соотношений весьма близки друг к другу. Однако деформации поверхности мембраны по-прежнему остаются зависимыми от характера соотношений между нагрузкой и удлинением. Представляет интерес теоретическое поведение материала при больших значениях давления. Если в материале, подчиняющемся закону Каппуса, бесконечно большие удлинения имеют место только при бесконечно большом избыточном давлении, в случае материала, подчиняющегося закону Гука, удлинения достигают бесконечно большой величины уже при ϗ = 2я, т. е. при конечном значении давления р = 2пD/[a*(1-v2)]. В случае материала, следующего зависимости (11.16), максимальное давление не может превосходить величины р = 1,721D/[ах*(1-v2)], что соответствует R/a = 0,778.
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

В заключение вернемся еще раз к рассмотрению деформированного состояния поверхности мембраны. Для угла отверстия цилиндрической мембраны (см. рис. 11.4)
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

откуда окончательно найдем:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

Вертикальные перемещения (рис. 11.4) определяются следующим образом:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

Приближенное решение методом Ритца

В отличие от вышеприведенного примера, где в функционал подставлялось точное решение, что согласно условию экстремума снова приводило к точному решению, в настоящем случае при определении деформированного состояния мы хотим воспользоваться простой подстановкой, от которой не требуется удовлетворения дифференциальных уравнений равновесия, и сравнить результаты такого приближенного и точного решений. При этом мы ограничимся исследованием мембраны, материал которой подчиняется закону Каппуса. Соответственно отметим
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

Вариационная задача согласно (11.27) сформулируется следующим образом:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

где u1(х) и w1(x) — заданные функции, удовлетворяющие граничным условиям, Cu и Cw -первоначально неизвестные постоянные, найдем, что П = П (Сu, Cw), т. е. что потенциал зависит только от постоянных Cu и Cw. Тогда из условий экстремума ∂П/∂Cu = 0 и ∂П/∂Cw = 0 следует система уравнений:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

где дифференцировались только те члены, которые были намечены стрелкой в (11.40), а с помощью штриха обозначены производные по ξ=x/a. Решение этой системы целесообразно осуществлять графическим путем. Для этого уравнение (11.42 а) разрешается относительно Cw/a, причем может быть показано, что при данном ϗ—ϗ0 имеем кривую (Сw/a)=f(Сu/a; ϗ0); соответственно из уравнения (11.42 6), разрешая его относительно Cu/a, при заданном ϗ—ϗ0; определим кривую Сu/a = g (Cw/a-, ϗ). Обе кривые представляются графически в системе координат (Cu/a, Cu/a), и точки их пересечения определяют решения, соответствующие ϗ—ϗ0, (Cu/a), (Cw/a). Таким образом, решения для совокупности значений х представляют собой точки пересечений соответствующих пучков кривых Сw/a = f(Cu/a; ϗ) и Cu/a = g(Cw/a; ϗ). Ниже мы исследуем решения с использованием двух различных подстановок Ритца.
Используя систему функций u1(ξ) = -sin 2пξ, w1(ξ)= sin пξ удовлетворяющих граничным условиям w1 = 0 и u1 = 0 при ξ = 0 и ξ = 1 и соответствующих условию симметричности перемещений w и антисимметричности перемещений и относительно середины пролета ξ = 1/2, получим после интегрирования из (11.42 а, b) следующие уравнения:
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

также удовлетворяющие граничным условиям w1 = 0 и u1 = 0 при ξ = 0 и ξ = 1 и отражающие симметричность перемещений w и антисимметричность перемещений u, после интегрирования получим из (11.42 а, b):
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

Некоторые решения этих уравнений приводятся в численном виде в табл. 16. Графическое представление решений дано на рис. 11.6. Пунктирные кривые на графике соответствуют решениям, полученным тригонометрической подстановкой (11.43), и штрихпунктирные кривые относятся к решениям, полученным с помощью подстановки (11.44). Сплошные кривые представляют точные решения согласно (11.36 ft), (11.39 ft) и (11.37 а). Как видно из графиков, в практически важной области 0≤ϗ≤0,5 приближенные решения дают хорошее совпадение с точным решением. При этом подстановка (11.44) дает более точное решение, что может быть пояснено физически: тригонометрическая подстановка (11.43 a, b) определяет, как мы увидим позднее, поверхность, кривизна которой в месте опирания равна нулю, чего в действительности не может быть, так как мембрана может воспринять нагрузку от внутреннего избыточного давления только в том случае, если радиус кривизны в каждой точке поверхности имеет конечное значение. На рис. 11.7 и 11.8 приводятся графики перемещений и усилий в сопоставлении с точными значениями этих величин. При этом усилия nx вычисляются, во-первых, с помощью деформаций, задаваемых согласно закону Kаппуса, и во-вторых, из условия равновесия на направление нормали элемента деформированной мембранной поверхности
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны

обозначает радиус кривизны деформированной цилиндрической поверхности. Мы устанавливаем, таким образом, известный факт, что аппроксимация усилий дает худшие результаты, чем аппроксимация перемещений. Во всяком случае усилия, определяемые через деформации согласно (11.45 а), дают более точные значения, чем усилия, найденные из условия равновесия деформированной мембранной поверхности (11.45 b). Определение усилий во всех случаях целесообразно производить исходя из деформированного состояния.
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны
Средняя область первоначально плоской длинной прямоугольной мембраны
Похожие новости