Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 09.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Рассмотрим произвольную поверхность r(α, β), характеризуемую ортогональными параметрическими линиями (rαrβ = gαβ = cos σαβ = 0). При изучении вопроса мы будем исходить из следующих соотношений:
а) уравнения равновесия;
б) соотношения между усилиями и деформациями;
в) соотношения между деформациями и перемещениями.
Как и в случае арок, из этих соотношений мы можем получить дифференциальные уравнения для перемещений. Вывод уравнений осуществляется следующим образом: вначале с помощью «в» выразим усилия через перемещения, подставим затем их выражения в уравнения равновесия. Однако из-за недостатка места мы не будем производить этой подстановки, поскольку мы при практических расчетах не хотим исходить из нелинейных уравнений для перемещений. В силу этого раздел 11.2 содержит только общие соображения по геометрическим предпосылкам, условиям равновесия и физическим соотношениям.
Геометрические основы

Геометрические основы расчета мембран в основном уже были приведены ранее.
Здесь отметим следующее: недеформированная мембрана, характеризуемая вектором r(α, β), вследствие перемещений v (а, Р) принимает новое положение, определяемое соотношением r(α, β) = r(α, β) + v(α, β). Возникающие при этом деформации и сетка параметрических линий деформированной поверхности описываются согласно (2.22 а) с помощью тензора деформаций. С помощью тензора деформаций показывается также существование главных направлений.
На недеформированной поверхности мы всегда можем выделить два семейства взаимно ортогональных кривых, которые остаются ортогональными и после деформации (линии главных удлинений).
Из (2.18 а) с учетом
Основные теории мембран при больших деформациях

следует, что единичный вектор εφ после деформации превращается в единичный вектор:
Основные теории мембран при больших деформациях

В соответствии с этим для тангенциальных единичных векторов на параметрических линиях деформированной поверхности имеем:
Основные теории мембран при больших деформациях

Для использования принципа виртуальных перемещений нам понадобятся вариации деформаций по перемещениям. С учетом (11.1) из (2.23 а) получим
Основные теории мембран при больших деформациях

Напряженное состояние, уравнения равновесия

Как мы уже отмечали ранее, усилия могут быть определены непосредственно из уравнений равновесия только в том случае, когда геометрия рассматриваемой поверхности может считаться известной. Если же мы рассматриваем большие перемещения величин, которые могут иметь порядок, одинаковый с размерами недеформированной мембранной поверхности, то в этом случае необходимо использовать точные геометрические характеристики поверхности, соответствующие деформированному состоянию. Отмечая штрихом величины, относящиеся к деформированному состоянию, в отличие от первоначального состояния мембраны, из (2. 3 а, b) для мембранных усилий, действующих вдоль параметрических линий
Основные теории мембран при больших деформациях

обозначает нагрузку, действующую на деформированную поверхность. С учетом (2.23 b) имеем:
Основные теории мембран при больших деформациях

В соответствии с этим мы можем записать уравнение равновесия (11.4 а), используя характеристики деформированной поверхности, в форме
Основные теории мембран при больших деформациях

Это уравнение может быть получено также непосредственно из условия равновесия элемента деформированной мембраны согласно рис. 11.1. Разумеется, напряженное состояние деформированной мембраны также может быть описано с помощью некоторого тензора. Причем это может быть выполнено в различных вариантах. Если мы определим тензор мембранных усилий аналогично (2.16 а)
Основные теории мембран при больших деформациях

Целесообразно введение тензорного представления, относящегося к недеформированной базисной системе. Для этого мы используем (11.1 b,с), с помощью чего найдем
Основные теории мембран при больших деформациях

После подстановки в (11.7а) получим
Основные теории мембран при больших деформациях

С помощью первого и второго инвариантов тензора деформаций (см. (2.24 h)] можем записать
Основные теории мембран при больших деформациях

Выразим единичный вектор нормали eφn деформированного элемента линии dsψ через единичные векторы еφ и еψ = (еγ * еφ), которые в недеформированном состоянии являлись нормальными и касательными векторами недеформированного элемента линии dsψ = eψdsψ, что с помощью (11.1) осуществляется следующим образом:
Основные теории мембран при больших деформациях

Основные теории мембран при больших деформациях

что может быть получено также непосредственно из рассмотрения условий равновесия треугольного элемента деформированной поверхности по аналогии с разделом 2.3.
Разложим вектор мембранных усилий, действующий на элементе линии dsψ деформированной мембранной поверхности в соответствии с
Основные теории мембран при больших деформациях

по двум направлениям, которые занимают первоначально ортогональный векторы направлений е и еψ = e1*eφ после деформирования поверхности. После скалярного умножения (11.10а) на векторное произведение еψ*еγ и еγ*еφ получим компоненты мембранных усилий в следующей форме:
Основные теории мембран при больших деформациях

Основные теории мембран при больших деформациях

Подставляя значения nφ из (11.9), найдем мембранные усилия в деформированной поверхности:
Основные теории мембран при больших деформациях

Используя (2.19 с), можем преобразовать последние выражения:
Основные теории мембран при больших деформациях

Откуда можем окончательно записать
Основные теории мембран при больших деформациях

Выполняя в фигурных скобках преобразование согласно (11.8 f), получим простой результат:
Основные теории мембран при больших деформациях

Таким образом, нам удалось выразить компоненты вектора напряжений деформированной мембраны в зависимости от векторов направлений недеформированной системы.
Физические соотношения между усилиями и деформациями

Учитывая сложную нелинейную форму уравнений в случае задачи при больших деформациях, выбор удобной зависимости между деформациями и усилиями представляется весьма важным, так как благодаря удобному выбору этой зависимости мы можем значительно упростить решение уравнений и вариационной задачи. Закон Гука, который для главных направлений, являющихся одновременно осями анизотропии, дает
Основные теории мембран при больших деформациях

в меньшей степени удовлетворяет высказанному ранее требованию, чем некоторые нелинейные зависимости, как мы увидим далее.
а) Закон Каппуса, представляющий собой нелинейную зависимость между деформациями и нагрузками, является, по существу, распространением закона Гука на область больших деформаций. Поступая формально таким же образом, как и в случае закона Гука, установим связь между компонентами тензора N с соответствующими компонентами тензора деформаций D1:
Основные теории мембран при больших деформациях

Основные теории мембран при больших деформациях

Таким образом, при одноосном растяжении имеем следующую зависимость между деформациями и нагрузками (рис. 11.2):
Основные теории мембран при больших деформациях

где b0 — первоначальная ширина полоски, ориентированной в направлении α, b — ширина полоски в рассматриваемый момент. Согласно закону Каппуса приходим к выводу, что усилия n', отнесенные к недеформированной поверхности, также находятся в нелинейной зависимости от деформаций.
Основные теории мембран при больших деформациях

б) Зададим линейную зависимость между усилиями, отнесенными к недеформированной поверхности, и соответствующими удлинениями в форме
Основные теории мембран при больших деформациях

Обобщая на случай двухосного растяжения по главным направлениям, т. е. по осям анизотропии, зададим связь между усилиями и деформациями следующим образом:
Основные теории мембран при больших деформациях

или же
Основные теории мембран при больших деформациях

Конечно, эти соотношения по-прежнему нелинейны относительно действительных усилий n. В случае одноосного растяжения из (11.14 b) при n2 = 0, т. е. ε2 = -v1ε1, получим (рис. 11.2):
Основные теории мембран при больших деформациях

в) Логарифмическая зависимость между усилиями и деформациями, указанная в свое время Рентгеном, Людвиком и Генки, при малых удлинениях переходит, как и в случаях «а» и «б», в закон Гука. Определим ее в предположении, что увеличение действительных усилий пропорционально росту удлинений, относимых к длине растягиваемого элемента в рассматриваемый момент времени. Если в данный момент времени прямоугольная мембрана имеет длины сторон l1 и l2, по этим сторонам действуют равномерно распределенные усилия n1 и n2, то. требуя от приращения усилий
Основные теории мембран при больших деформациях

Рассмотрим вначале первое уравнение (11.15 b). Приравнивая коэффициенты при dl1 и dl2
Основные теории мембран при больших деформациях

получим после интегрирования по первоначальной длине сторон l10 и l20 с учетом условия n1 (l10, l20) = 0
Основные теории мембран при больших деформациях

Соответственно из второго уравнения (11.15 b) имеем
Основные теории мембран при больших деформациях

С помощью зависимостей
Основные теории мембран при больших деформациях

где ε1 и ε2 — представляемые обычным образом удлинения, отнесенные к первоначальной длине, получим в результате:
Основные теории мембран при больших деформациях

или же, разрешая относительно деформаций,
Основные теории мембран при больших деформациях

Для одноосного растяжения (рис. 11.2) при n2 = 0, т. е. ln (1 + ε2) = -v1ln (1 + ε1), найдем соответствующую зависимость
Основные теории мембран при больших деформациях
Похожие новости