Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 09.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Разлагая (10.7 а) и (10.7 с) по производным перемещений и ограничиваясь линейными членами, получим:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Линеаризированное уравнение плоской арки

Здесь следует отметить, что в соответствии с (10.14 а) имеем
Линеаризированное уравнение плоской арки

откуда разность кривизн выразится следующим образом:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Соотношения между усилиями и деформациями при малой величине деформаций также могут быть линеаризированы. При в ε≤1 из (10.10 а, b) получим:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Линеаризируем уравнения равновесия (10.11 с) и (10.11 h) отметив предварительно:
Линеаризированное уравнение плоской арки

помощью чего из (10.11 e) получим
Линеаризированное уравнение плоской арки

Линеаризированное уравнение плоской арки

Из (10.11 h) получим линеаризированное уравнение моментов
Линеаризированное уравнение плоской арки

Произведя подстановки из (10.15 а, b) в (10.15 с) и (10.15 d) и учитывая (10.14 a, b), получим линеаризированное уравнение для перемещений.
Нерастяжимая арка

При ε = 0 из (10.14 а) следует
Линеаризированное уравнение плоской арки

Для разности кривизн получим
Линеаризированное уравнение плоской арки

B соответствии с этим с помощью (10.15 b) и (10.15 d) запишем уравнение для перемещений
Линеаризированное уравнение плоской арки

Линеаризированное уравнение плоской арки

Дифференцируя по x, с учетом (10.16 а), получим дифференциальное уравнение третьего порядка, содержащее только вертикальные перемещения:
Линеаризированное уравнение плоской арки

В случае вертикальных нагрузок рz2 = -q(x)/√1+z'2, где q(x) обозначает погонную, нагрузку на единицу длины горизонтальной проекции, px = 0. Обозначая распор арки Ax = H, получим
Линеаризированное уравнение плоской арки

Для дальнейшего упрощения умножим это уравнение на (1 + z'v'), что вследствие условия z'v'≤1 эквивалентно делению на (1-z'v') и, опуская нелинейные члены, содержащие производные перемещений, продифференцируем его еще раз. Получим простое соотношение
Линеаризированное уравнение плоской арки

В случае статически неопределимой системы изгибающий момент M определяется в соответствии с линейной теорией следующим выражением:
Линеаризированное уравнение плоской арки

где МА, A и H представляют собой опорные реакции в статически неопределимой системе, отыскиваемые обычным способом.
Вводя дополнительно ΔН = H - Н, можно привести (10.17 b) к виду
Линеаризированное уравнение плоской арки

Из (10.16 а) после интегрирования получим
Линеаризированное уравнение плоской арки

Помимо этого, из условия несмещаемости опор следует
Линеаризированное уравнение плоской арки

в силу чего кроме четырех граничных условий (по два на каждом крае), которые могут быть сформулированы непосредственно для v, необходимо учитывать также условие (10.18). Эти пять условий удовлетворяются выбором значений четырех постоянных, получающихся при интегрировании (10.17 d), и распором H.
Приближенное решение для нерастяжимой арки методом Галеркина. Потеря устойчивости арки.

Вводя произвольную функцию f(x), преобразуем уравнение (10.17 d) в эквивалентное интегральное уравнение
Линеаризированное уравнение плоской арки

Если потребовать, чтобы функция f(x) удовлетворяла граничным условиям для перемещений v (включая уравнение 10.18), то можем записать:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Линеаризированное уравнение плоской арки

Здесь использован тот факт, что, с одной стороны, вследствие несмещаемости опор v(0) = v (l) = 0 имеет место условие f(0) = f(l) = 0, а с другой стороны, краевой член
Линеаризированное уравнение плоской арки

должен равняться нулю, поскольку на опоре M = 0 (при шарнирном опирании) или v' = 0 и соответственно f'(0) (при жесткой заделке). В связи с этим с помощью (10.19 b) из (10.19 а) получим основное соотношение для приближенного решения:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Выразим неизвестное перемещение с помощью неопределенных вначале постоянных Ck:
Линеаризированное уравнение плоской арки

где vk обозначает функции, удовлетворяющие всем граничным условиям для v (включая уравнение 10.18). После подстановки в (10.19 с) с учетом f = vi получим систему уравнений
Линеаризированное уравнение плоской арки

в которой ради краткости принято
Линеаризированное уравнение плоской арки

Выбирая специальную систему ортогональных функций, удовлетворяющую условиям
Линеаризированное уравнение плоской арки

найдем, что Ck и соответственно перемещения при моменте на опоре, отличном от нуля, резко возрастают. В рамках линеаризированной теории этот факт говорит о том, что система неустойчива. С помощью функций vk из (10.21) получаем уравнение для приближенного определения арочного распора Hk, который может вызвать потерю устойчивости арки. На практике наибольший интерес представляет наименьшее значение H1 = HКр, которому соответствует эпюра изгибающего момента, производящего минимальную работу при изгибе, т. е. эпюра, содержащая минимальное количество нулевых точек. Учитывая принятую нерастяжимость материала, получим эпюру моментов с одной нулевой точкой; в симметричной арке эта эпюра антисимметрична. Величина критического распора определяется приближенно:
Линеаризированное уравнение плоской арки

где v1 удовлетворяет собственным граничным условиям [включая (10.18)] и представляет собой функцию, имеющую только одну нулевую точку пролете. С помощью зависимости
Линеаризированное уравнение плоской арки

то получим особенно простые формулы для моментов и перемещений vk. Принимая во внимание ортогональность базисных функций, найдем
Линеаризированное уравнение плоской арки

в связи с чем согласно (10.23 b) получим Ci = Ai vi/vi-1.
Таким образом, из (10.23 с, d) для перемещений и моментов получим следующие выражения:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Линеаризированное уравнение плоской арки

Так как величины vk = Hk/H при увеличивающемся k резко возрастают, мы видим, что деформации наиболее сильно сказываются только на первых членах разложения (10.24 а). При вычислении в первом приближении мы можем пользоваться арочным распором, определяемым согласно линейной теории,
Линеаризированное уравнение плоской арки

Для более точного определения распора и функции мы по-прежнему используем (10.19 а), где примем f(x) = 1. Дифференциальное уравнение (10.17 d), которое с помощью ΔH = H - H может быть записано в форме
Линеаризированное уравнение плоской арки

является, таким образом, эквивалентным соотношению
Линеаризированное уравнение плоской арки

В предположении малости перемещений произведем упрощения
Линеаризированное уравнение плоской арки

Вводя подстановку
Линеаризированное уравнение плоской арки

запишем приближенно
Линеаризированное уравнение плоской арки

откуда с учетом (10.24 d) получим окончательно
Линеаризированное уравнение плоской арки

Отметим дополнительно, что, исключая последнее уравнение, результаты, полученные этим приближенным методом, могут являться точными, если вместо примененных базисных функций vi использовать собственные функции et. При этом мы получим решение линеаризированного дифференциального уравнения продольного изгиба арки, удовлетворяющего собственным граничным условиям. При M = 0 из (10.17 d) получим это уравнение в следующей форме:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Будем различать случаи с увеличением и без увеличения распора, в силу чего в случае ΔH = 0 получим однородное дифференциальное уравнение
Линеаризированное уравнение плоской арки

а при v = ΔH/H v для функций v получим уравнение
Линеаризированное уравнение плоской арки

Пять однородных граничных условий определяют пять постоянных интегрирования (включая Н) только в случае H = Нk, отличных от нуля, аналогично случаю продольного изгиба прямолинейного стержня. Собственные функции, соответствующие этим значениям, vk = ek(a) и vk = ek(s) удовлетворяют уравнениям
Линеаризированное уравнение плоской арки

умножая уравнения (10.25 a, b) на еi(a) и еi(s) и уравнения (10.26 a, b) на ek(a) и еk(s) и интегрируя в пределах 0≤х≤l, получим с учетом собственных граничных условий для v, а также для еi и ek собственные функции в обоих случаях потери устойчивости:
Линеаризированное уравнение плоской арки

(индексы a и s являются в данном случае излишними). Таким образом, показана ортогональность собственных функций, соответствующие значения которых могут быть заданы согласно (10 27 а) при i = k в форме
Линеаризированное уравнение плоской арки

может быть найдено решение уравнения (10.17 d), если ввести подстановку, удовлетворяющую собственным граничным условиям,
Линеаризированное уравнение плоской арки

Это возможно в силу того, что подстановки (10.27 е, f) в (10.17 d) с учетом (10.25 a, b) приводят к соотношению
Линеаризированное уравнение плоской арки

[ср. (10.24 с, d)], уравнение (10.27 g) служит для определения распора Н. Мы можем использовать уравнение (10.27 g), чтобы определить увеличение распора, например, в случае симметричной арки при действии одной только симметричной нагрузки.
Критическая нагрузка для симметричной плоскости арки

Прежде чем перейти к практическому расчету плоской арки на произвольную нагрузку, исследуем случай чистого продольного изгиба арки. Для определения критического распора будем исходить из (10.21) и (10.22), причем в целях упрощения вычислений интегралов заменим функцию φ = 1/√1+z'2 некоторым полиномом. Запишем
Линеаризированное уравнение плоской арки

и определим не известные вначале постоянные Cк с помощью условий, которым удовлетворяет функция φ:
Линеаризированное уравнение плоской арки

Отсюда для постоянного момента инерции из (10.21) имеем:
Линеаризированное уравнение плоской арки

В качестве примера рассмотрим параболическую арку со следующими характеристиками:
Линеаризированное уравнение плоской арки

и определим критическии распор для антисимметричного и симметричного случаев в двухшарнирной и бесшарнирной арке.
Похожие новости