Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
СЛУЧАЙНАЯ
Опубликовано : 09.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Общие замечания

При расчете арки мы имеем дело со следующими соотношениями:
а) уравнения равновесия;
б) зависимость между усилиями и деформациями (физические уравнения) и
в) зависимость между деформациями и перемещениями.
С помощью «в» мы можем согласно «б» выразить усилия в зависимости от перемещений и подставить их в уравнения равновесия «а». В результате этого получим уравнения для перемещений плоской арки.
Геометрия арки (рис. 10.2)

Если ось арки в недеформированном состоянии определяется с помощью r = r(t), где t — скалярный параметр, то для элемента дуги ds, соответствующего приращению параметра dt, и для касательного вектора t на кривой получим:
Уравнения для перемещений плоской арки

где производная по t обозначена с помощью точки, а производная по длине дуги s обозначена с помощью штриха. Согласно формулам Френе имеем:
Уравнения для перемещений плоской арки

(Здесь n представляет собой нормальный единичный вектор, направленный к центру кривизны). С учетом
Уравнения для перемещений плоской арки

найдем кривизну
Уравнения для перемещений плоской арки

Обозначая вектор перемещения через w, запишем выражение кривой оси арки после деформации
Уравнения для перемещений плоской арки

Элемент, соответствующий приращению параметра dt, равен:
Уравнения для перемещений плоской арки

Таким образом, удлинение элемента дуги равняется:
Уравнения для перемещений плоской арки

Касательные и нормальные векторы в деформированном состоянии оси арки определяются соответственно как
Уравнения для перемещений плоской арки

причем кривизна деформированной оси арки с учетом соотношений, полученных Френе,
Уравнения для перемещений плоской арки

или непосредственно из (10.5/) при подстановке r = r + w вместо r может быть определена следующим образом:
Уравнения для перемещений плоской арки

Обозначая угол наклона касательной к дуге относительно оси х до деформации через ω, приращение угла через Δω, запишем угол наклона касательной к дуге после деформации в виде ω=ω+Δω. Так как dsds- = |ds||ds-| cos Δω = ds2 (1+ ε) cos Δω, приращение угла может быть определено через:
Уравнения для перемещений плоской арки

Выбирая в качестве параметра кривой дуги абсциссу х, получим
Уравнения для перемещений плоской арки

и выражая вектор перемещения в компонентах системы (x, z)
Уравнения для перемещений плоской арки

найдем удлинения
Уравнения для перемещений плоской арки

где с помощью штриха обозначены производные по х. Найдем далее кривизны до и после деформации
Уравнения для перемещений плоской арки

и определим разность кривизн
Уравнения для перемещений плоской арки

Зависимость между усилиями и деформациями

Зависимость между усилиями и деформациями определяется в предположении применимости для данного случая гипотезы Бернулли и закона Гука. Согласно разделу 9.2 она справедлива при определенных физических соотношениях для любого характера нагрузки. Деформация элемента арки ds без учета влияния поперечной силы определяется согласно гипотезе Бернулли (рис. 10.3). Удлинение волокон, отстоящих от нейтральной оси на расстоянии ζ, может быть определено следующим образом:
Уравнения для перемещений плоской арки

После деформации волокно удлиняется на
Уравнения для перемещений плоской арки

где через ε = (ds — ds)/ds обозначено удлинение волокон у нейтральной оси ζ = 0. Удлинение волокон, отстоящих произвольно от нейтральной оси, может быть представлено в форме
Уравнения для перемещений плоской арки

будучи выражено через удлинение нейтральных волокон ε и кривизны ϗ и ϗ-. Считая, что материал подчиняется закону Гука, для усилий в зависимости от деформации нейтральных волокон получим
Уравнения для перемещений плоской арки

Заменим действие нормальных напряжений, действующих в сечении арки, через продольную силу N и изгибающий момент М:
Уравнения для перемещений плоской арки

Поскольку мы рассматриваем арки с малой начальной кривизной (ϗr = r/R≤1), принимая, что
Уравнения для перемещений плоской арки

Уравнения равновесия (рис. 10.4)

Если обозначить погонную нагрузку, распределенную по длине деформированной арки через р, то в соответствии с рис. 10.4 можем записать следующее уравнение равновесия для усилий
Уравнения для перемещений плоской арки

и соответственно для моментов
Уравнения для перемещений плоской арки

Исключая в (10.11 а) поперечные силы, получим согласно (10.11 b)
Уравнения для перемещений плоской арки

Постоянный вектор А, появляющийся при интегрировании этого уравнения, физически представляет собой опорную реакцию на левом конце арки (рис. 10.5).
Уравнения для перемещений плоской арки

Уравнение (10.11 d) выражает условие равновесия элемента арки, заключенного между опорой и рассматриваемым сечением. С помощью скалярного умножения на t и n получим уравнения в компонентах:
Уравнения для перемещений плоской арки

Уравнения для перемещений плоской арки

Последнее уравнение может быть проинтегрировано еще раз:
Уравнения для перемещений плоской арки

Здесь постоянная MA представляет собой опорный момент в заделке (см. рис. 10.5).
Определяя так называемый вектор бинормали в деформированной кривой оси арки в форме b = t*n (или же b*t = n), можем преобразовать подынтегральное выражение следующим образом:
Уравнения для перемещений плоской арки

Учитывая, что для плоской кривой, лежащей в плоскости (x, z), b = const = -еу, можем записать
Уравнения для перемещений плоской арки

Интеграл нагрузки может быть упрощен:
Уравнения для перемещений плоской арки

Отсюда окончательно для изгибающего момента в арке получим
Уравнения для перемещений плоской арки

Соотношение (10.11 h) может быть получено согласно рис. 10.5 непосредственно из условия равенства нулю моментов, действующих в сечении деформированной арки. Исключая случай нагрузки давлением жидкости или газа, нагрузка р непосредственно зависит от удлинения ε, хотя согласно р(1 + ε) = р она может рассматриваться как не зависящая от удлинения. (Например, в случае собственного веса: при весе единицы длины, равном g, до деформации имеем dG—gds. Поскольку после деформации элемента ds его длина становится равной ds = ds(1 + ε), а вес остается прежним, получаем dG = gds = g(1 + ε)ds, т. e. g(l + ε) = g).
Уравнения для перемещений плоской арки

Мы получим уравнения для перемещений плоской арки, если в (10.11 с) выразим усилия в эквивалентной форме согласно соотношениям между усилиями и деформациями (10.10 a, b) через деформации, а последние в свою очередь через перемещения согласно (10.7 а, с). Тангенциальный и нормальный векторы также должны быть представлены в зависимости от перемещений согласно (10.6 d, е). Исходя, например, из уравнений (10.11 е) и (10.11 h) получим:
Уравнения для перемещений плоской арки

Уравнения для перемещений плоской арки

Нерастяжимая арка

При очень большой жесткости на растяжение DхF из (10.10 а) следует ε = 0. Это дает согласно (10.7 а) (1 + и')2 + (z ' + v')2 = 1 + z'2, откуда следует
Уравнения для перемещений плоской арки

С помощью (10.13 a, b) устанавливается простая зависимость между горизонтальными и вертикальными компонентами перемещений. Далее из (10.7 с) получим соотношение, выражающее изменение кривизны,
Уравнения для перемещений плоской арки

Используя (10.13 с), из (10.11 h) после подстановки согласно (10.10 b) и учитывая, что А = Axеx + Azez, p = p-(1 + ε) = pxex + pzez и ds = √1+z'2 dx, получим уравнение для перемещений
Уравнения для перемещений плоской арки

Дифференцируя (10.13 d) по х и используя соотношение (10.13 а), получим дифференциальное уравнение, содержащее только вертикальное перемещение v,
Уравнения для перемещений плоской арки

Решение системы уравнений (10.13 а и 13 е) содержит шесть постоянных интегрирования, включая опорные реакции Ax и Az, которые обеспечивают удовлетворение граничных условий. Вообще, вследствие нелинейности нахождение решений этих дифференциальных уравнений затруднительно, в связи с чем обычно решается линеаризированная задача, которая является корректной, однако только в случае малых деформаций. Ho и в этом случае при произвольном очертании арки решение в явном виде может быть найдено только для очень пологих арок. Этот случай представляет для нас меньший интерес. В силу вышесказанного, оставаясь в рамках теории малых деформаций (линейной теории), мы вынуждены вместо дифференциальных уравнений использовать интегральные выражения, которые могут быть получены, например, с помощью метода Галеркина или в соответствии с принципом виртуальных перемещений.
Похожие новости