Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 09.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Условия равновесия мембранных усилий из (2.5 a—с) с учетом (3.3) окончательно получаем в виде:
Решение задачи о равновесии мембраны

Для упрощения системы уравнений выразим, например, из (3.5 с) мембранное усилие nφ
Решение задачи о равновесии мембраны

и подставим его в (3.5 а) и (3.5 b). Тогда задача может быть сведена к двум уравнениям:
Решение задачи о равновесии мембраны

Задача о равновесном состоянии мембраны в форме произвольной оболочки вращения для осесимметричного случая, а также для частного случая антисимметричного нагружения сводится к квадратурам. В этих случаях получить решение задачи сравнительно просто.
Осесимметричная нагрузка

В этом случае все подлежащие определению величины зависят только от 0, и мы получим из (3.6 b, с) после интегрирования
Решение задачи о равновесии мембраны

где постоянные интегрирования C1 и C2 могут быть определены из условия равновесия сил и моментов относительно оси вращения z. Для любой части оболочки, выделенной сечением z=const, имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

здесь Рz0 и Mz0 — некоторое осевое усилие, приложенное в вершине 0 = 0, и крутящий момент относительно оси z. Такие сосредоточенные нагрузки вызывают в месте приложения силы бесконечно большие усилия. Поэтому мы должны избегать в мембранных конструкциях приложения сосредоточенных нагрузок. Нужно отметить, что мы можем переписать формулы (3.7 а, b) в более простом виде:
Решение задачи о равновесии мембраны

где P2(θ) и Mz(θ) — внешние нагрузки, которые действуют на отсеченную часть оболочки, срезанную сечением z(θ), и
Решение задачи о равновесии мембраны

— периметр и полярный момент сопротивления окружности сечения. Здесь мы имеем формальное соответствие с формулами для продольного растяжения и кручения элементарной теории тонкостенных стержней кругового сечения переменной толщины, что дает нам основание рассматривать оболочку вращения как стержень, ось которого совпадает с осью вращения оболочки. То же обстоятельство будет иметь место в случае простой антисимметричной нагрузки. Второе мембранное усилие nφ получается непосредственно из (3.6 а).
Исследуем некоторые случаи симметричной нагрузки.
а) Нагрузка от внутреннего давления р
Для случая нагрузки от внутреннего давления из (3.7) и (3.6 а) с учетом pθ=рφ = 0, pR=p имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

Из (3.8 a, b) мы можем получить интересное следствие: несмотря на внутреннее избыточное давление, nφp может быть меньше нуля, в силу чего образуются меридиональные складки. Возможные формы оболочек вращения, пригодные для пневматических конструкций, ограничиваются соотношением
Решение задачи о равновесии мембраны

(Нагрузка от внутреннего давления, естественно, должна восприниматься без появления складок). Простое правило, характеризующее соблюдение этого условия, может быть выражено в следующей форме (рис. 3.3). Проведем в некоторой точке P нормаль к меридиональной кривой, она пересечет ось вращения в точке О. Тогда точка О должна всегда лежать внутри круга кривизны, который мы можем провести в точке P на меридиональной кривой. На рис. 3.3 точка P1i
Решение задачи о равновесии мембраны

определяет точку с кольцевыми еще сжимающими усилиями, поскольку P1, P1'≤P1O1, то в точке P2nφp=0, так как здесь P2P2'=P2O2. Во всех точках выше P2 имеют место благодаря условию РР'≥РО кольцевые растягивающие усилия.
Меридиональная кривая z0=z0(z) такой оболочки вращения, в которой кольцевое усилие nφ при нагрузке внутренним избыточным давлением повсюду равно нулю, определяется из условия
2R1 — R2 = 0,

т. е. с помощью
Решение задачи о равновесии мембраны

(штрих обозначает производную по r) из дифференциального уравнения
Решение задачи о равновесии мембраны

решение которого находится в эллиптических интегралах.
Как пример использования (3.8 а, b) исследуем случай нагружения избыточным давлением мембраны в форме эллипсоида вращения (рис. 3.4). С помощью формул
Решение задачи о равновесии мембраны

Если при этом выполняется условие
Решение задачи о равновесии мембраны

то nφ всегда остается положительным и складки вдоль меридиональных линий возникнуть не могут. Это всегда выполняется в случае b≥а (сигарообразная форма) и дает для z=0, т. е. для сечения, делящего сигару пополам, наибольшие усилия:
Решение задачи о равновесии мембраны

Вследствие nφмакс≥nθмакс наибольшие кольцевые усилия являются определяющими в расчете.
В случае b≤а (линзообразная форма) восприятие нагрузок от внутреннего избыточного давления без складок возможно только до тех пор, пока b остается большим, чем а/√2=0,7071 а. Если b=0,7071 а, в миделе кольцевые усилия исчезают, возникают меридиональные складки. Линзообразная форма, таким образом, не может использоваться для пневматической несущей конструкции.
б) Нагрузка от собственного веса
При собственном весе g = уh на единицу площадки (у — объемный вес материала оболочки, h — толщина) имеем согласно рис. 3.5
Решение задачи о равновесии мембраны

После использования (3.7) и (3,6 а) получаем:
Решение задачи о равновесии мембраны

в) Симметричная снеговая нагрузка
Согласно DIN 1055, B1.5 выразим приближенно вертикальную снеговую нагрузку, приходящуюся на единицу площади горизонтальной проекции оболочки, формулой
Решение задачи о равновесии мембраны

(здесь s принято 75 кг/м2), тогда для вертикальной снеговой нагрузки, действующей на единицу площади поверхности (рис. 3.6), получается
Решение задачи о равновесии мембраны

или в компонентах
Решение задачи о равновесии мембраны

Решение задачи о равновесии мембраны

Нужно различать случаи с разными углами раствора Θ0 мембраны. Для θ0≤π/2 вся область мембраны покрыта снегом, следовательно, после подстановки из (3.11 с, d) в (3.7) и (3.6 а) получаем
Решение задачи о равновесии мембраны

При θ0≤π/2 снеговая нагрузка ограничивается верхней областью купола 0≤θ≤π/2 следовательно, мембранные усилия, определяемые по формулам (3.12 а, b), в этом случае справедливы только для области 0≤θ≤π/2. В нижней части θ0≥π/2 купол должен считаться свободным от снеговой нагрузки, в силу этого здесь следует положить Pθ=Pφ=PR=0. Из (3.7) для нижней области, поскольку подынтегральная функция только в верхней области 0≤θ≤π/2 имеет значения, отличные от нуля, получаем
Решение задачи о равновесии мембраны

В то же время из (3.6а) с учетом PR=0 имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

г) Нагрузка в виде снегового мешка в области вершины купола
В отличие от предыдущего примера снеговая нагрузка, задаваемая формулами (3.11 с, d), см. рис. 3.7, ограничивается областью 0≤θ≤θ1. Соответственно получаем мембранные усилия:
Простая антисимметричная нагрузка

Для нагрузок в форме
Решение задачи о равновесии мембраны

решение может быть получено без затруднений с использованием подстановок
Решение задачи о равновесии мембраны

скости (у,г) мембранные усилия nφ и nθ, а также симметричные относительно этой плоскости сдвигающие усилия nθφ. Однако при определении усилий вместо дифференциальных уравнений мы будем использовать для большей наглядности эквивалентные интегральные выражения, которые получаются приложением условий равновесия соответствующим образом вырезанной части мембраны. Рассечем мембрану по произвольной горизонтальной плоскости z=z(θ) (рис. 3.8), тогда вместо отсеченной части мембраны действуют нормальные и сдвигающие усилия nθ и nθφ причем nθ может быть определено непосредственно из условия равенства нулю моментов относительно оси у', параллельной у. В то же время из условия уравновешивания усилия в направлении х с ранее определенной величиной nθ находится мембранное касательное усилие nθφ. Второе нормальное усилие определяется из (3.6 а).
Определим сначала равнодействующую внешней нагрузки, приложенной к отсеченной части оболочки, и момент относительно точки А — точки пересечения оси у' с осью вращения z. Для нагрузки, действующей в точке поверхности Р(χ, ψ),
Решение задачи о равновесии мембраны

Решение задачи о равновесии мембраны

и соответствующего элемента поверхности
Решение задачи о равновесии мембраны

элементарная сила, действующая в точке P(χ, ψ), равна:
Решение задачи о равновесии мембраны

С помощью интегрирования по верхней части поверхности находим равнодействующую внешней нагрузки, приложенной к отсеченной части,
Решение задачи о равновесии мембраны

Производя интегрирование по ψ и отмечая, что
Решение задачи о равновесии мембраны

после подстановки р и dF из (3.16а, b) получим
Решение задачи о равновесии мембраны

Равнодействующая имеет соответственно только один компонент в направлении х и лежит в плоскости (х, z), так как нагрузка (3.15 а) симметрична относительно этой плоскости. В связи с этим мы можем рассматривать действие момента относительно точки А только вокруг оси у'. Ортвектор, направленный из точки А к точке поверхности P (χ, ψ)
Решение задачи о равновесии мембраны

является моментом элементарной силы dPp относительно точки А:
Решение задачи о равновесии мембраны

Его компонент относительно оси у':
Решение задачи о равновесии мембраны

(квадратные скобки обозначают векторное произведение). Отсюда после интегрирования по отсеченной части получим момент от внешней нагрузки
Решение задачи о равновесии мембраны

Подстановка из (3.19а) и (3.16 а, b) ведет, наконец, после интегрирования по ψ с учетом соотношения (3.17) к формуле
Решение задачи о равновесии мембраны

Для определения усилий, производимых внешней силой, приложенной к отсеченной части, а также ее моментом относительно точки А, рассмотрим точку Q(θ, ω), через которую проходит широтная линия z(θ). На элемент линии
Решение задачи о равновесии мембраны

действует соответствующая усилиям
Решение задачи о равновесии мембраны

элементарная сила
Решение задачи о равновесии мембраны

Таким образом, окончательно после интегрирования вдоль периметра линии сечения с учетом (3.17) получим для равнодействующей усилий, действующих на отсеченную часть,
Решение задачи о равновесии мембраны

При этом в силу того, что равнодействующая должна всегда лежать в плоскости (х, z), поскольку усилия соответствуют симметричной относительно плоскости (х, z) нагрузке в отсеченной части, усилия создают момент только относительно оси у'. С помощью ортвектора, направленного из точки А к краевой точке Q(θ,ω),
Решение задачи о равновесии мембраны

для элементарного момента внутреннего усилия получим
Решение задачи о равновесии мембраны

а его компонент относительно оси у' имеет вид:
Решение задачи о равновесии мембраны

Таким образом, окончательно после подстановки из (3.21 b) и (3.22 а) и интегрирования вдоль широтной линии с учетом (3.17) получим
Решение задачи о равновесии мембраны

есть момент инерции широтного сечения относительно оси у'.
С помощью вышеизложенного метода определяются усилия, действующие на отсеченную часть купола. Из условия равенства нулю суммы моментов получим
Решение задачи о равновесии мембраны

а с помощью (3.23) найдем
Решение задачи о равновесии мембраны

откуда с учетом (3.15 b) имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

где х — расстояние от точки P на линии широтного сечения до оси у’, относительно которой определяется момент. Отсюда
Решение задачи о равновесии мембраны

что также находится в полном согласии с формулами для нормальных изгибных напряжений в элементарной теории тонкостенных стержней переменного поперечного сечения. Из условий равновесия
Решение задачи о равновесии мембраны

Таким образом, для сдвигающих мембранных усилий ввиду соотношения (3.15 b) имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

Сведение задачи об отыскании усилий к простым формулам (3.24) и (3.25) невозможно для общего случая нагрузки вида
Решение задачи о равновесии мембраны

поскольку тогда усилия представляются в форме
Решение задачи о равновесии мембраны

из-за чего закон прямой пропорциональности (3.24c) меридионального усилия нарушается. Однако, вообще говоря, при разложении нагрузки в тригонометрический ряд амплитуды нагрузки pk(θ) для высших гармоник при росте k быстро уменьшаются. Формулы (3.7 d, e), (3.24) и (3.25) будут, как правило, давать удовлетворительное приближение для произвольной, а не только для осесимметричной или простои антисимметричной нагрузки, если разложить произвольную нагрузку на симметричную и антисимметричную части и затем применить формулы (3.7 d, e), (3.24), (3.25). В этом случае меридиональные усилия определяются по формулам балочной теории, причем мембрана должна рассматриваться как стержень, вытянутый вдоль оси 2.
Точное решение для произвольной нагрузки, которое в силу (3.26 а) должно отыскиваться в тригонометрических рядах, ведет к системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые только в частных случаях (например, сферическая мембрана, параболическая мембрана) могут быть решены точно. Мы удовлетворимся только случаями простой антисимметричной и осесимметричной нагрузок и рассмотрим загружение снегом и случай ветровой нагрузки.
а) Односторонняя снеговая нагрузка
Нагрузка такого типа предусматривается в первом приближении в следующей форме:
Решение задачи о равновесии мембраны

При этом составляющая
Решение задачи о равновесии мембраны

является осесимметричной, т. е. вызывает усилия nθs1/2 и nφs1/2, а составляющая, определяемая соотношением
Решение задачи о равновесии мембраны

является антисимметричной относительно плоскости (у, z). Используя зависимости (3.18) и (3.20) с учетом того, что
Решение задачи о равновесии мембраны

получим
Решение задачи о равновесии мембраны

Из (3.24 а) с учетом (3.23 b) и (3.25 а) имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

Затем мы находим в соответствии с (3.15 b) и (3.6 а) мембранные усилия от несимметричной составляющей нагрузки, к которым мы должны добавить усилия от симметричной составляющей nθs1/2 и nφs1/2. Окончательно в случае несимметричной односторонней снеговой нагрузки имеем:
Решение задачи о равновесии мембраны

В случае θ0≥π/2 область загружения снеговой нагрузкой также ограничивается верхней частью купола. В нижней части купола имеем:
Решение задачи о равновесии мембраны

б) Ветровая нагрузка
Обозначим через w ветровую нагрузку, действующую по нормали к поверхности,
Решение задачи о равновесии мембраны

Рассмотрим случай ветрового воздействия в направлении отрицательной оси х и примем в первом приближении закон распределения ветровой нагрузки в виде (при постоянных w0 и w1)
Решение задачи о равновесии мембраны

Составляющая w0 (осесимметричная нагрузка) описывается в 3.21 а. В случае нагрузки
Решение задачи о равновесии мембраны

антисимметричнои относительно плоскости (у, z) и симметричной относительно плоскости (х, z), усилия определяются из (3.24) и (3.25):
Решение задачи о равновесии мембраны

Таким образом, имеем
Решение задачи о равновесии мембраны

С учетом этого из (3.24 а) и (3.23 b) аналогично (3.25 а) находим:
Решение задачи о равновесии мембраны

Таким образом, в соответствии с (3.15 b) и (3.6 а) усилия от нагрузки, определяемой законом (3.29 b), определяются формулами:
Решение задачи о равновесии мембраны

Краевая нагрузка вдоль параметрической линии Θ=Θс

Этот случай мы должны исследовать в связи с рассмотрением составных оболочек вращения. Ограничимся осесимметричной и антисимметричной [относительно плоскости (у, z)] нагрузкой от мембранных краевых усилий (рис. 3.9):
Решение задачи о равновесии мембраны

которые вызывают прикладываемые в точке Ac по краевой линии Θ=Θс силы:
Решение задачи о равновесии мембраны

а также крутящий момент относительно оси вращения
Решение задачи о равновесии мембраны

и составляющую момента относительно оси у', приложенного в точке Ac,
Решение задачи о равновесии мембраны

При этом для определения усилий мы снова можем использовать простые формулы пункта 3.2.2. Тогда горизонтальное сечение z = z(Θ) воспринимает «балочные» усилия:
Решение задачи о равновесии мембраны

Отсюда для осесимметричной составляющей из (3.7 d) получим:
Решение задачи о равновесии мембраны

а для антисимметричной относительно плоскости (у, z) имеем из (3.24) с использованием (3.23 b) и (3.25):
Решение задачи о равновесии мембраны
Похожие новости