Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 09.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Вследствие смещений элемента мембранной поверхности, вызываемых напряжениями, поверхность мембраны переходит в деформированное состояние. Определяющие соотношения для этого состояния (соотношения между усилиями и перемещениями) мы можем получить после выяснения связи между деформациями и перемещениями, а также после определения физического закона, описывающего механические свойства материала, т. е. устанавливающего связь между усилиями и деформациями.
Соотношения между деформациями и перемещениями

Деформации, определяющие напряженное состояние элемента мембраны (удлинение, изменение формы), в случае надобности могут быть охарактеризованы с помощью трех безразмерных величин, являющихся компонентами (симметричного) тензора деформаций D. Если обозначить единичный вектор деформированной мембранной поверхности через r(α, β), то с использованием вектора перемещения v(α, β) получим
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Элемент линии dsφ = еφdsφ, на недеформированной поверхности мембраны r(α, β) переходит во время деформации в dsφ = еφdsφ, (рис. 2.3). С учетом данных в (1.18 d) формул для дифференцирования вектора по направлению получим:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Для интерпретации компонентов деформации dik с помощью обычным образом используемого представления об удлинении и угле сдвига введем сначала удлинение линейного элемента dsφ:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Обозначим угол, составляемый двумя элементами линий dsφ и dsψ до деформации, через σφψ и тот же угол после деформации через σφψ = σφψ — γφψ, причем
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

представляет собой изменение угла. Таким образом, имеем
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

В частном случае, если мы исходим из условия первоначальной ортогональности элементов линий (σφψ=п/2) (рис. 2.3), то получим
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Из восьми компонентов dik тензора деформаций
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

компоненты diγ = dγi = (i = α, β), как это можно показать, описывают деформации поворота элемента поверхности из своей плоскости, что с точки зрения напряженного состояния мембраны не представляет интереса. В то же время симметричный тензор
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

как непосредственно ясно из (2.21 b, е), откуда следует, что при еφеγ = 0 имеются следующие соотношения:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

определяет деформацию элемента поверхности в его плоскости. Ограничиваясь ортогональными координатами (σαβ= п/2), при
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

имеем
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

что может быть проверено при использовании соотношения (a⊗b)(c⊗d) = (a⊗d) (bс). Нас особенно интересуют компоненты тензора D1, которые зависят от производных деформации следующим образом:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Здесь удлинения и синус угла сдвига выражаются формулами:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

получим:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Величины деформаций удлинения и сдвига dψφ и dφψ произвольного элемента поверхности dsφ dsψ с помощью соотношения
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

могут рассматриваться как абсциссы и ординаты некоторого круга, центр которого сдвинут на положительной оси абсцисс на величину (dαα + dββ)/2.
Отметим, что в каждой точке поверхности имеются два ортогональных элемента линии, повернутых по отношению к недеформированному еα-направлению на углы
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

которые и после деформации остаются взаимно перпендикулярными и одновременно испытывают экстремальные удлинения — главные деформации:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Угол наклона φ01 первого главного направления деформаций к деформированному еα-направлению можно представить с помощью рис. 2.4. На рис. 2.4 показан треугольный элемент поверхности с длинами сторон ds1, ds2 и dsα после деформации (рис. 2.4, б). Используя соотношение ds = (l +ε)ds, получим:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Значение этих выражений не зависит от выбора направления системы (координат), поскольку DI и DII определяются как первый и второй инварианты тензора деформаций.
В случае малых деформаций мы получаем для компонентов dik, тензора деформаций DI, после того как опустим нелинейные члены, содержащие перемещения,
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Так как в этом случае удлинения и угол сдвига могут рассматриваться как величины, весьма малые по сравнению с единицей, компоненты тензора деформаций dik связываются с удлинениями и углом сдвига при помощи простых соотношений
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Таким образом, принимая во внимание формулу дифференцирования (1.13), где, кроме того, следует положить σαβ=π/2, получаем соотношение между деформациями и перемещениями в виде:
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

В заключение отметим, что тензор деформаций может быть определен так же, как полуразность метрических тензоров деформированной и недеформированной поверхностей.
Физические соотношения для ортогонально-анизотропной, линейно-упругой мембраны

Материалы, применяемые в мембранных конструкциях, весьма различны в отношении поведения под нагрузкой. В случае листового металла, пластмассовой пленки и так называемых матов (бесструктурных тканей) мы имеем дело с изотропными материалами. В наиболее широко распространенных прорезиненных тканях мы встречаемся с ортогональной анизотропией при малой, как правило, жесткости на сдвиг Dαβ (по сравнению с жесткостью на растяжение Dα или Dβ). Особенно мала жесткость на сдвиг у легких тканей, у которых она несколько возрастает при увеличении нормальных усилий или внутреннего избыточного давления (до 1/50 от наибольшей жесткости на растяжение). В силу этого такие ткани в смысле их поведения под нагрузкой могут быть приравнены к тросовым сеткам (Dαβ=0).
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

На рис. 2.5 показана типичная диаграмма разрыва легкой ткани с тонким покрытием (осредненная из четырех опытов на одноосное растяжение). Кривые вначале имеют весьма малый подъем. Нити основы и утка выпрямляются благодаря изменению структуры, для чего не требуется большой величины силы. В конце этого периода выпрямления, который в рассматриваемом случае меньше у нитей основы, поскольку они с самого начала более вытянуты, чем нити утка, начинается собственно удлинение нитей ткани. В дальнейшем закон связи удлинений и усилий становится близким к линейному со слабой нелинейностью.
В опытах на двухосное растяжение, когда основа и уток растягиваются одновременно, фазы выпрямления нитей значительно меньше. Тогда мы можем рассматривать ткань при малых деформациях как практически подчиняющуюся линейному закону или при больших деформациях как слабо нелинейный материал. В области малых деформаций мы можем с достаточной точностью принимать определяющий закон ортогонально-анизотропной, линейно-упругой мембраны, который предполагает линейную зависимость между компонентами тензоров мембранных усилий и деформаций DI. Поскольку мембранные нормальные усилия в направлении осей анизотропии вызывают только продольные удлинения, а соответствующие мембранные сдвигающие усилия — только деформации сдвига, определяющий закон выражается следующей группой уравнений
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Между упругими постоянными Di (модуль упругости) и vi (коэффициент Пуассона) по закону Бетти должно выполняться соотношение
Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

С помощью комбинаций определяющих физических уравнений (2.26а) с соотношениями, связывающими деформации и перемещения, получаем уравнения связи между усилиями и перемещениями.
Уравнения, связывающие усилия и перемещения

Деформированное состояние в теории мембран при малых деформациях

Эти уравнения после определения усилий (из условий равновесия) путем интегрирования с учетом краевых условий позволяют определить перемещения мембранной поверхности.
Похожие новости