Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 08.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Условия равновесия для мембранных усилий, которые мы представляем в компонентах системы (еα, еβ, еγ) в форме:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

определяются для произвольного элемента dF = dsαdsβsinσαβ (рис. 2.1), вырезаемого из поверхности двумя парами параметрических линий. Мембранные усилия должны находиться в равновесии с нагрузкой, приходящейся на элемент поверхности, и определяемой выражением
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Из рис. 2.1 мы можем получить условие равновесия сил:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

а также условие равенства нулю суммы моментов относительно точки А:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Пренебрегая членами высшего порядка малости и с учетом (1.3, а, b), (1.4 с), (1.5 b) и (2.1 a, b) условия равновесия можно записать в упрощенной форме:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Формула (2.3 b) выражает равенство сдвигающих усилий
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

С учетом формулы дифференцирования (1.13) из (2.3 а) получим уравнения в компонентах:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

(В последнем уравнении использованы равенства ωα(βα) = -ωβ(αβ) и nαβ = nβα. В общем случае (2.4а—с) образуют систему уравнений, достаточную для определения трех еще неизвестных компонентов усилия nα, nβ и nαβ = nβα, поскольку встречающиеся в уравнениях компоненты метрического тензора мы можем рассматривать как известные. Сделаем предположение, что под нагрузкой поверхность испытывает малые деформации, тогда подстановка компонентов метрического тензора дает первое приближение для значений мембранных усилий. В этом случае усилия пропорциональны нагрузке, однако в малых областях, примыкающих к краю, эти теоретически определяемые усилия могут существенно отличаться от действительных, поскольку линеаризованная теория не обеспечивает удовлетворение общих граничных условий. Наряду с такими случаями, в которых поправки, даваемые точной теорией к величинам усилий и деформаций, существенны только в краевых областях, мы сталкиваемся и с другой задачей, где недеформированная поверхность совершенно не способна находиться в равновесии под действием нагрузки при конечной величине внутренних усилий. В этом случае деформации (вообще говоря, большие) оказывают существенное влияние на напряженное состояние всей мембраны. Общий случай больших деформаций, когда компоненты метрического тензора в конце деформации неизвестны и ставятся с помощью уравнений деформации в зависимость от усилий, рассматривается ниже.
Для ортогональной сетки соотношения значительно упрощаются. Выражая компоненты углов поворота и ωγ(α) и ωγ(β) через коэффициенты первой квадратичной формы Гаусса gik, [в соответствии с (1.21) получим:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Если поверхность мембраны задана в форме z = z(x, y), то часто оказывается целесообразным записать уравнение равновесия (2.3 а) в компонентах в неподвижной системе координат (еx0, еy0, еz0), в которой единичные векторы определяются соотношениями:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

и отказаться от записи этих уравнений в виде (2.4 а—с). Для этой цели выразим мембранные усилия, действующие по линиям сечений x=const и y=const в форме:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

в компонентах не изменяющемся по направлению базисной системы (еx0, еy0, еz0) и подставим в условие равновесия (2.3а). При этом одновременно нагрузку зададим в компонентах (еx0, еy0, еz0) системы
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Так как базисные векторы постоянны, то дифференцирование в (2.3 а) ведется только по скалярным составляющим. Отсюда уравнения в компонентах переписываются в более простой форме:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Дифференцируя выражения в скобках, из последнего уравнения имеем:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

и, принимая во внимание первые два уравнения, окончательно получаем
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

задача, описываемая уравнениями (2.7 a, b, d), может быть сведена к определению функции напряжений F(x, у), которая через частные производные может быть определена в форме:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

В то время как два первых уравнения равновесия должны удовлетворяться тождественно, из третьего уравнения (2.7 d) следует дифференциальное уравнение для функции напряжения:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Решение (2.8 d), удовлетворяющее граничным условиям в соответствии с (2.8 а—с), определяет напряженное состояние мембраны.
При представлении поверхности мембраны в полярных координатах z = z(r, φ) или r(r, φ) = rer0,+z(r, φ)ez0, эквивалентная форма условий равновесия необходима для того, чтобы выразить мембранные усилия nr и nφ, действующие вдоль параметрических линий r=const и φ=const, через компоненты базисной системы цилиндрических координат (еr0, еφ0, еz0):
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Если подставить эти выражения в условие равновесия (2.3 а), то, представив нагрузку в виде
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

и приняв во внимание формулы дифференцирования уравнения в компонентах получаем окончательно в следующем виде:
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Если продифференцировать выражение в скобках в последнем уравнении, то после подстановки двух первых уравнений окончательно получим
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Для случая pr = рφ = 0 функция напряжений F (r, φ) должна определяться через свои частные производные в виде
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях

Подстановка этих выражений в два первых уравнения равновесия (2.9 а, b) удовлетворяет их тождественно. С помощью подстановки в последнее уравнение равновесия (2.9 d) для функции напряжений получим дифференциальное уравнение
Условия равновесия в теории мембран при малых деформациях
Похожие новости