Главная|Контакты
ПОСЛЕДНИЕ ЗАПИСИ
Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Памятники культуры могут разрешить передавать между учебными заведениями

Учебные заведения, находящиеся в признанных культурным наследием зданиях, возможно смогут...

06.09.16  В Королеве в октябре будет открыта пешеходная зона в технологическом стиле

31.08.16  Корпорация Технониколь открыла новый завод по производству минваты в Хабаровске

31.08.16  Отреставрированный корпус РЭУ им. Плеханова открыт

29.08.16  На строительство нового терминала аэропорта на Камчатке претендуют 4 инвестора

29.08.16  ЦАГИ включен в список объектов культурного наследия

28.08.16  На Северном Кавказе к 2017 году будет введен в экусплуатацию индустриальный комплекс

26.08.16  Жилой комплекс со спортивной инфраструктурой будет построен в Казани

26.08.16  В усадьбе "Константиново" откроется детский хоспис

25.08.16  Перинатальный центр на северо-западе Москвы в скоро времени будет построен

24.08.16  В ходе реставрации метро "Сокол" будут восстановлены исторические элементы

ТОП СТАТЕЙ
Опубликовано : 08.02.15 | Категория: Пневматические строительные конструкции
Кривизна и кручение характеризуются векторами вращения ω(ki). Рассмотрим пространственную кривую, лежащую на поверхности, которая в точке P образует с направлением eα угол φ (рис. 1.3). Тангенциальный вектор eφ кривой получим из
Кривизна и кручение поверхности

С учетом
Кривизна и кручение поверхности

после подстановки окончательно получим
Кривизна и кручение поверхности

Вектор eφ перпендикулярен вектору eγ, нормальному к поверхности, при дифференцировании которого вдоль кривой имеем:
Кривизна и кручение поверхности

Таким образом, векторы eφ, eγ и
Кривизна и кручение поверхности

образуют на кривой ортогональную координатную систему. Вводя аналогично (1.2) вектор вращения ω(φ), который должен характеризовать поворот базиса при перемещении по кривой на длину ΔSφ=1, получим
Кривизна и кручение поверхности

После векторного умножения на еγ имеем
Кривизна и кручение поверхности

Скалярное умножение на тангенциальный вектор eφ определяет компоненты угла поворота, т. е. геодезическое кручение:
Кривизна и кручение поверхности

Из (1.15 с, d) окончательно получим с учетом (1.14):
Кривизна и кручение поверхности

Умножая скалярно уравнение (1.16а) на eφ=eγ*eφ, получим компоненты угла поворота, нормальные к касательной плоскости, определяемой векторами eγ и eφ, т. е. так называемую нормальную кривизну Kn(φ) поверхности в точке P:
Кривизна и кручение поверхности

Кривизна и кручение поверхности

Отсюда с помощью (1.156, с) и (1.14) получим
Кривизна и кручение поверхности

Из (1.16 с, е) после сокращения имеем
Кривизна и кручение поверхности

(1.17b) представляет собой уравнение некоторой окружности (рис. 1.4). Можно сделать вывод, что, с одной стороны, имеются два взаимно перпендикулярных направления φ01 и φ02 с экстремальными нормальными кривизнами, относительно которых геодезическое кручение равно нулю (направления главных кривизн) и что, с другой стороны, сумма двух нормальных кривизн двух взаимно перпендикулярных сечений постоянна. Средняя кривизна может быть выражена в форме
Кривизна и кручение поверхности

где у обозначает дифференциальный оператор:
Кривизна и кручение поверхности

Гауссова кривизна в точке P выражается формулой
Кривизна и кручение поверхности

Если Кnmin = Kn2 = H — R ≥ 0 (т. е. К ≥ 0): то нормальные кривизны положительны. Центры кривизны лежат в этом случае по одну сторону поверхности (эллиптическая точка поверхности). В случае H — R = 0 (т. е. К = 0) имеется некоторое направление с нулевой кривизной (параболическая точка поверхности). Если круг рассекается по оси Т, что имеет место, например, в случае H — R ≤ 0, H + R ≥ 0 (т. е. К ≤ 0), то нормальные кривизны имеют разные знаки. Центры кривизны лежат по обе стороны поверхности (гиперболическая точка). В этом случае всегда имеются два нормальных сечения с нулевыми кривизнами. Структура формул (1.16 е, с) относительно их зависимости от угла, образуемого параметрическими линиями, показывает, что кривизна и кручение поверхности могут быть описаны некоторым тензором, так называемым главным тензором поверхности. Это следует непосредственно из (1.15 с), где тригонометрическое выражение в числителе представляется в форме:
Кривизна и кручение поверхности

С помощью оператора ∀ в соответствии с (1.18 b) и с учетом определения диадного произведения получим
Кривизна и кручение поверхности

причем нормальная кривизна Kn (φ) и кручение T (φ) согласно (1.16 6, d) задаются в форме
Кривизна и кручение поверхности

При этом имеется в виду соотношение
eψ = eγ*eφ.

Если кручение поверхности вдоль параметрической линии равно нулю, то последняя является линией главной кривизны. Из (1.16 с) приходим к необходимому условию, что α-линии должны быть линиями главной кривизны:
Кривизна и кручение поверхности

Определим коэффициенты квадратичной формы поверхности, которая задана в виде z = z(x, у) или z = z(r, φ) (рис. 1.5, 1.6). В первом случае единичный вектор должен быть представлен в компонентах декартовой системы (еx0, еy9, еz0):
Кривизна и кручение поверхности

Подставляя α=х и β=у, получим:
Кривизна и кручение поверхности

В случае использования полярных координат z (r, φ) единичный вектор выражается в форме
Кривизна и кручение поверхности

Подставляя α=r и β=φ с учетом
Кривизна и кручение поверхности

(базисные векторы еr0 и еφ0 вдоль параметрической линии r=const не меняются по направлению), получим:
Кривизна и кручение поверхности

Кривизна и кручение поверхности

Наибольшие упрощения получаются в случае ортогональной сетки, где σαβ = π/2, откуда
Кривизна и кручение поверхности

Для компонентов обоих секторов вращения ω(α) и ω(β) и для средней кривизны с использованием (1.14) и (1.18 а) получим следующую удобную форму записи:
Кривизна и кручение поверхности
Похожие новости